numpy.linalg.matrix_rank

利纳尔格。matrix_rank ( A , tol = None , Hermitian = False )

使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩

数组的秩是数组中大于tol的奇异值的数量。

版本 1.14 中的更改：现在可以对矩阵堆栈进行操作

参数：

一个{(M,), (…, M, N)} 类似数组

输入向量或矩阵堆栈。

tol (…) 类似数组，浮点数，可选

低于该阈值的 SVD 值被视为零。如果tol为 None，并且是具有MS奇异值的数组，并且 是 数据类型的 epsilon 值，则tol设置为。epsSS.max() * max(M, N) * eps

版本 1.14 中更改：针对矩阵堆栈进行广播

Hermitian布尔值，可选

如果为真，则 A被假定为 Hermitian（如果为实值则对称），从而可以使用更有效的方法来查找奇异值。默认为 False。

1.14 版本中的新增功能。

返回：

排名(...) 类似数组

等级A。

笔记

检测排名不足的默认阈值是对A奇异值大小的测试。默认情况下，我们将小于的奇异值识别为指示等级不足（使用上面定义的符号）。这是 MATLAB 使用的算法 [1]。它也出现在讨论线性最小二乘的 SVD 解决方案的数值配方中 [2]。S.max() * max(M, N) * eps

此默认阈值旨在检测考虑 SVD 计算数值错误的排名缺陷。想象一下A中的一列是A中其他列的精确（以浮点形式）线性组合。一般来说，计算A上的 SVD不会产生完全等于 0 的奇异值：最小 SVD 值与 0 的任何差异都将由 SVD 计算中的数值不精确引起。我们针对小 SVD 值的阈值考虑了这种数值不精确性，默认阈值将检测这种数值排名缺陷。即使A的某些列的线性组合不完全等于A的另一列，而只是在数值上非常接近 A的另一列，阈值也可以声明矩阵A秩不足。

我们选择默认阈值是因为它被广泛使用。其他阈值也是可能的。例如，2007 年版《数值食谱》中的其他地方有一个替代阈值。作者将这个阈值描述为基于“预期舍入误差”（第 71 页）。S.max() * np.finfo(A.dtype).eps / 2. * np.sqrt(m + n + 1.)

上述阈值处理 SVD 计算中的浮点舍入误差。但是，您可能有关于A中的错误来源的更多信息，这将使您考虑其他容差值来检测有效的排名缺陷。最有用的容差度量取决于您打算在矩阵上使用的操作。例如，如果您的数据来自不确定性测量，且不确定性大于浮点 epsilon，则选择接近该不确定性的容差可能更好。如果不确定性是绝对的而不是相对的，则容差可以是绝对的。

参考

[ 1 ]

MATLAB 参考文档，“Rank” https://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/rank.html

[ 2 ]

WH Press、SA Teukolsky、WT Vetterling 和 BP Flannery，“数值食谱（第 3 版）”，剑桥大学出版社，2007 年，第 795 页。

例子

>>> from numpy.linalg import matrix_rank
>>> matrix_rank(np.eye(4)) # Full rank matrix
4
>>> I=np.eye(4); I[-1,-1] = 0. # rank deficient matrix
>>> matrix_rank(I)
3
>>> matrix_rank(np.ones((4,))) # 1 dimension - rank 1 unless all 0
1
>>> matrix_rank(np.zeros((4,)))
0