numpy.polyfit #

麻木的。polyfit ( x , y , deg , rcond = None , full = False , w = None , cov = False ) [来源] #

最小二乘多项式拟合。

笔记

这构成了旧多项式 API 的一部分。从版本 1.4 开始，numpy.polynomial首选中定义的新多项式 API 。差异摘要可以在转换指南中找到。

将 deg 次多项式拟合到点( x , y)。返回系数p的向量，该向量按deg、deg-1、 … 0的顺序最小化平方误差。p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg]

Polynomial.fit建议新代码使用类方法，因为它在数值上更稳定。有关详细信息，请参阅该方法的文档。

参数：

x类似数组，形状 (M,): M 个样本点的 x 坐标。(x[i], y[i])
y类似数组，形状 (M,) 或 (M, K): 样本点的 y 坐标。通过传入每列包含一个数据集的 2D 数组，可以一次性拟合共享相同 x 坐标的多个样本点数据集。
度整数: 拟合多项式的次数
rcond浮动，可选: 拟合的相对条件数。相对于最大奇异值小于此值的奇异值将被忽略。默认值为len(x)*eps，其中eps是float类型的相对精度，大多数情况下约为2e-16。
满布尔值，可选: 开关确定返回值的性质。当为 False（默认值）时，仅返回系数；当为 True 时，还会返回来自奇异值分解的诊断信息。
w array_like，形状 (M,)，可选: 重量。如果不是“无”，则权重适用于处的w[i]未平方残差。理想情况下，选择权重以使产品的误差都具有相同的方差。当使用逆方差加权时，使用。默认值为无。y[i] - y_hat[i]x[i]w[i]*y[i]w[i] = 1/sigma(y[i])
cov bool 或 str，可选: 如果给定且不是False，则不仅返回估计值，还返回其协方差矩阵。默认情况下，协方差按 chi2/dof 缩放，其中 dof = M - (deg + 1)，即，除非在相对意义上，否则权重被认为是不可靠的，并且所有内容都经过缩放，使得减少的 chi2 为单位。如果，则省略此缩放 cov='unscaled'，与权重为 w = 1/sigma 的情况相关，已知 sigma 是不确定性的可靠估计。

返回：

p ndarray，形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)

多项式系数，最高次幂在前。如果y是二维的，则第 k个数据集的系数在中p[:,k]。

残差、等级、奇异值、rcond

仅在以下情况下才返回这些值full == True

残差 – 最小二乘拟合的残差平方和
等级 – 缩放后的范德蒙德的有效等级
系数矩阵
single_values – 缩放后的 Vandermonde 的奇异值
系数矩阵
rcond – rcond的值。

有关更多详细信息，请参阅numpy.linalg.lstsq。

V ndarray，形状 (M,M) 或 (M,M,K)

仅当且时出现。多项式系数估计的协方差矩阵。该矩阵的对角线是每个系数的方差估计。如果 y 是二维数组，则第 k个数据集的协方差矩阵为full == Falsecov == TrueV[:,:,k]

警告：

排名警告

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。仅在以下情况下才会发出警告。full == False

可以通过以下方式关闭警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

也可以看看

polyval: 计算多项式值。
linalg.lstsq: 计算最小二乘拟合。
scipy.interpolate.UnivariateSpline: 计算样条拟合。

笔记

该解决方案最小化平方误差

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在方程中：

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数p的系数矩阵是范德蒙矩阵。

polyfitRankWarning当最小二乘拟合条件不好时会出现问题。这意味着由于数值误差，最佳拟合并未明确定义。通过降低多项式次数或用x - x .mean()替换x可以改善结果。 rcond参数也可以设置为小于其默认值的值，但结果拟合可能是虚假的：包括小奇异值的贡献可能会给结果增加数值噪声。

请注意，当多项式的次数很大或样本点的间隔居中不良时，拟合多项式系数本质上会受到不良条件的影响。在这些情况下，应始终检查配合质量。当多项式拟合不令人满意时，样条曲线可能是一个不错的选择。

参考

[ 1 ]

维基百科，“曲线拟合”， https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[ 2 ]

维基百科，“多项式插值”， https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

例子

>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用poly1d对象来处理多项式很方便：

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高阶多项式可能会剧烈振荡：

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

插图：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()