numpy.梯度#

麻木的。梯度( f , * varargs , axis = None , edge_order = 1 ) [来源] #

返回 N 维数组的梯度。

使用内部点的二阶精确中心差和边界处的一阶或二阶精确单侧（向前或向后）差异来计算梯度。因此，返回的梯度具有与输入数组相同的形状。

参数：
f类数组

包含标量函数样本的 N 维数组。

标量或数组的可变参数列表，可选

f 值之间的间距。所有尺寸的默认统一间距。可以使用以下方式指定间距：

  1. 单个标量指定所有维度的样本距离。

  2. N 个标量，用于指定每个维度的恒定样本距离。即dx、dy、dz、...

  3. N 个数组，用于指定 F 的每个维度上的值的坐标。数组的长度必须与相应维度的大小匹配

  4. 具有 2. 和 3. 含义的 N 个标量/数组的任意组合。

如果给定了axis，则可变参数的数量必须等于轴的数量。默认值：1。

边缘顺序{1, 2}，可选

使用边界处的 N 阶精确差来计算梯度。默认值：1。

1.9.1 版本中的新增功能。

axis无或整数或整数元组，可选

仅沿给定的一个或多个轴计算梯度默认值（轴=无）是计算输入数组的所有轴的梯度。 axis 可能为负数，在这种情况下，它从最后一个轴开始计数到第一个轴。

1.11.0 版本中的新增内容。

返回：
渐变ndarray 或 ndarray 列表

与 f 对每个维度的导数相对应的 ndarray 列表（如果只有一维，则为单个 ndarray）。每个导数具有与 f 相同的形状。

笔记

假如说\(f\in C^{3}\)（IE，\(f\)至少有 3 个连续导数）并让\(h_{*}\)是一个非齐次的步长，我们最小化“一致性误差”\(\eta_{i}\)真实梯度与相邻网格点线性组合的估计值之间的关系：

\[\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]\]

通过替换\(f(x_{i} + h_{d})\)和\(f(x_{i} - h_{s})\) 通过泰勒级数展开，这可以转化为求解以下线性系统：

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.\end{split}\]

所得的近似值\(f_{i}^{(1)}\)如下：

\[\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)\]

值得注意的是，如果\(h_{s}=h_{d}\) （即数据均匀分布）我们找到标准二阶近似：

\[\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)\]

通过类似的过程，可以导出用于边界的前向/后向近似值。

参考

[ 1 ]

Quarteroni A.、Sacco R.、Saleri F. (2007) 数值数学（应用数学教材）。纽约：施普林格。

[ 2 ]

Durran DR (1999) 地球物理流体动力学中波动方程的数值方法。纽约：施普林格。

[ 3 ]

Fornberg B. (1988) 任意间隔网格上的有限差分公式的生成，计算数学 51，第 1 期。 184：699-706。 PDF。

例子

>>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16], dtype=float)
>>> np.gradient(f)
array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ])
>>> np.gradient(f, 2)
array([0.5 ,  0.75,  1.25,  1.75,  2.25,  2.5 ])

还可以使用表示值 F 沿维度的坐标的数组来指定间距。例如均匀间距：

>>> x = np.arange(f.size)
>>> np.gradient(f, x)
array([1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])

或者是非统一的：

>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.], dtype=float)
>>> np.gradient(f, x)
array([1. ,  3. ,  3.5,  6.7,  6.9,  2.5])

对于二维数组，返回将是按轴排序的两个数组。在此示例中，第一个数组代表行方向的梯度，第二个数组代表列方向的梯度：

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float))
[array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]]), array([[1. , 2.5, 4. ],
       [1. , 1. , 1. ]])]

在此示例中，还指定了间距：axis=0 为均匀间距，axis=1 为非均匀间距

>>> dx = 2.
>>> y = [1., 1.5, 3.5]
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), dx, y)
[array([[ 1. ,  1. , -0.5],
       [ 1. ,  1. , -0.5]]), array([[2. , 2. , 2. ],
       [2. , 1.7, 0.5]])]

可以使用edge_order指定如何处理边界

>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> f = x**2
>>> np.gradient(f, edge_order=1)
array([1.,  2.,  4.,  6.,  7.])
>>> np.gradient(f, edge_order=2)
array([0., 2., 4., 6., 8.])

axis关键字可用于指定计算梯度的轴的子集

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), axis=0)
array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]])